우리가 보유한 시간의 가치는 얼마인가? 이에 대해서는 몇백 년을 토론해도 답이 나오지 않을 것이라고 생각한다. 가장 쉽게 생각될 수 있는 것은, “현재 받고 있는 명목임금에 총 가용시간을 곱한 것이 시간의 가치, 즉 기회비용이 아닌가?” 라는 주장이 고려될 수도 있다.
물론 기본적으로 근로- 비근로, 혹은 근로-여가선택에 있어서 가장 중요한 요소가 임금률, 정확히 말하면 “여가를 1단위 감소시켜서 얼마의 소비를 누릴 수 있는가?” 이므로, 결과적으로 임금률이 키포인트가 되는 것은 사실이다. 그러나 총 가용시간에 단순히 임금률을 곱한 것이 시간의 총가치가 될 수는 없다. 이유는 명백하다. 가령 당신이 12시간 근로를 하고 12시간의 비근로시간을 누리고 있다고 하자. 그렇다면 당신이 보유한 24시간의 한계시간가치는 어떻게 구성되는지를 생각해 볼 필요가 있다. 아래 그림을 보면 명백한 것이지만,
만약 총 가용시간 T 에 실질임금(W/Px) 을 단순히 곱할 경우 나타나는 면적은 위의 그림에서 사각형 2+3+4의 면적을 합친 것과 동일하다. 그러나 미분과 적분의 정의에 의해, 한계시간의 실질가치 곡선이 존재한다면 T시간에 대한 시간의 총가치는 한계시간의 실질가치곡선 아래의 면적의 합으로 나타나는 것을 알 수 있고, 이 때 우리가 보유한 시간의 총가치는 1+2+3의 면적으로 도출되는 것이 가장 엄밀하다. 즉, 만약 우리가 실질임금률만을 사용해서 우리의 시간가치를 측정할 경우 (삼각형 4의 면적) - (삼각형 1의 면적) 만큼의 오차가 생기는 셈이다.
결국 시간의 총가치를 측정하는데 있어서는 한계시간의 실질가치곡선을 구하여, 이를 시간 T에 대해 적분하는 것이 비교적 엄밀하다고 할 수 있다. 이하에서는 콥-더글라스의 효용함수를 가정하고, 소득은 모두 소비재 X재에 지출되는 경우를 가정하여 시간의 한계가치곡선을 도출하고, 이를 통해 우리가 보유한 시간의 실질가치와 명목가치를 잠정적으로 도출해 볼 것이다.
(단, 이와 같은 방법을 사용한다고 하여 한계시간의 실질가치 곡선이 반드시 우하향하는 것은 아니다. 임금률, 선호체계 등을 외생적으로 가정할 경우 한계시간의 실질가치 곡선은 T의 변화와 거의 무관하여 수평으로 도출될 수 있다. 다만 시간 T의 증가에 따라 전체적인 노동공급 증가->임금률 감소 로 나타날 경우에 한해 한계시간의 실질가치곡선은 우하향하는 곡선으로 도출된다. 다만, 이렇게 수평으로 도출되는 한계시간의 실질가치 곡선은 단순히 실질임금이 아닌, 실질임금에 시간선호율을 곱한 것으로 도출된다는 데 의의가 있다. 자세한 사항은 결론에서 언급한다.)
1. 효용극대화 조건의 도출 - (식 1)
우리의 효용함수를 U = XaL(1-a) 라고 가정하자. 이 때 X = 소비재의 단위, L=비근로시간(여가시간)이다. 이 때 우리에게 주어진 총시간을 T라고 하면, “근로시간 = (T-L) " 이 됨을 확인할 수 있다. 이때 우리의 총소득은 W * (T-L)이 된다.
이를 보다 일반적인 라그랑지안 문제로 바꾸게 되면, 우리의 선택은
Max U = XaL(1-a), S.t. W(T-L) = Px*X
임을 알 수 있다. (Px = X재의 가격)
이를 라그랑지안 식으로 쓰게 되면 ℓ= XaL(1-a) + λ(W(T-L) - Px*X)
이 라그랑지안 식을 각각 X,Y에 대해서 편미분을 하게 되면
Əℓ/Əx = aX(a-1)L(1-a) -λPx = 0, Əℓ/ƏL = (1-a)XaL-a-λw = 0
이 도출된다. (이때 우리에게 주어진 총시간 T는 일정하다고 가정한다.)
위 식을 λ에 대해서 정리하면
∴Px * X = 〔a ÷ (1-a)〕 * WL - - - (식 1)
이라는 흥미로운 결과를 얻을 수 있다. 즉, 우리가 최적선택을 한다고 했을 때
(우리의 총소비) = (비근로시간 * 임금률) * (시간선호율[a/1-a])로 도출되게 된다.
따라서 우리는 콥-더글라스 효용함수를 가정한다면 우리의 임금률과 총소비를 통해서 간접적으로 시간선호율을 도출할 수 있게 된다. 이하에서는 우리의 선호체계와 임금률이 일정하게 주어졌다는 가정을 바탕으로 한계시간가치 곡선을 도출하도록 한다.
따라서 우리는 콥-더글라스 효용함수를 가정한다면 우리의 임금률과 총소비를 통해서 간접적으로 시간선호율을 도출할 수 있게 된다. 이하에서는 우리의 선호체계와 임금률이 일정하게 주어졌다는 가정을 바탕으로 한계시간가치 곡선을 도출하도록 한다.
2. 한계시간가치 곡선의 도출 - (식 2)와 (식 3)
또한 이러한 조건을 대입함으로써 우리는 우리의 시간 T에 대한 한계시간가치를 계산할 수 있다. 한계시간가치의 실질보수는 “시간 T가 1증가할 때 X재 소비를 얼마만큼 늘릴 수 있는가?” 로 귀결되며, 이는 ƏX/ƏT 로 쓸 수 있다. 이를 재정리하면,
ƏX/ƏT = (ƏL/ƏT)*(ƏX/ƏL) = (ƏL/ƏT) * (MUL/MUX) 로 재정리 할 수 있다.
ƏX/ƏT = (ƏL/ƏT)*(ƏX/ƏL) = (ƏL/ƏT) * (MUL/MUX) 로 재정리 할 수 있다.
주지하다시피 (비근로시간) = (완전한 자유의 시간)을 가정할 경우,
비근로시간 L 1단위가 증가할때의 한계효용 : MUL = ƏU/ƏL = (1-a)XaL-a
임을 도출해 낼 수 있다.
마찬가지로, MUX = ƏU/ƏX = a * X(a-1)L(1-a) 으로 구해진다.
임을 도출해 낼 수 있다.
마찬가지로, MUX = ƏU/ƏX = a * X(a-1)L(1-a) 으로 구해진다.
이를 재정리하면,
(ƏX/ƏL) = MUL/MUX = [(1-a)÷a]* [X÷L] - - - (식 2)
이 때, 예산제약식에서 W(T-L) = Px*X 이므로, X = W(T-L) ÷ (Px) 는 항상 성립하는 등식이라고 할 수 있다.
이를 식 2에 대입하여 재정리하면,
이를 식 2에 대입하여 재정리하면,
∴(ƏX/ƏL) = [(1-a)÷a] * [W÷Px] * [(T-L)/L] - - - (식 3)
또한 위의 식에서 우리는 우리의 시간선호율 a를 구할수 있다.
가령, 위의 식 Px * X = 〔a ÷ (1-a)〕 * WL 는 다시 (Px*X) ÷ (WL) = 〔a ÷ (1-a)〕로 쓸 수 있고, 이때 항등식 W(T-L) = Px*X가 성립하므로,
∴(T-L) / (L) = 〔a ÷ (1-a)〕.
즉 우리의 시간선호율은 근로시간: 비근로시간의 비율로 간단하게 도출된다.
가장 간단한 예로, 우리가 12시간을 일하고 12시간은 비근로시간(수면을 하든, 여자친구를 만나든)으로 보낸다고 할 때, (T-L) / (L) 은 1이 되고, 따라서 a = 0.5로 도출될 수 있다. 만약 16시간을 일하고 8시간을 비근로시간으로 보낸다면 〔a ÷ (1-a)〕= 2가 되고 따라서 a=2/3 이 된다.
이때 ∴ a = “총시간 T중 근로로 보내는 시간의 비율” 로 항등적으로 정의됨을 알 수 있다.
이제 마지막으로, 우리가 주어진 시간 T가 증가함에 따라 여가를 늘리는 정도, 즉 (ƏL/ƏT)를 알게 되면 우리가 원하는 시간의 한계가치 식, 즉 ƏX/ƏT를 구할 수 있게 된다. 이 때 우리의 효용함수가 콥-더글라스 함수인 한, 우리는 주어진 시간이 1단위 증가하게 되면 정확히 a시간만큼을 추가노동에 투입하고 1-a 시간을 비근로시간에 투입하려 할 것이다. 즉 개인의 선호가 변하지 않는한 (ƏL/ƏT) = (1-a) 가 된다.
따라서, (ƏX/ƏL) = [W/Px] , (ƏL/ƏT) = (1-a) 이므로,
ƏX/ƏT = (1-a) * [(1-a)÷a] * [W÷Px] * [(T-L)/L]
= (1-a) * [W÷Px] (∵(T-L) / (L) = 〔a ÷ (1-a)〕)
즉 한계시간의 실질가치곡선은 (1-a) * [W÷Px] 로 정의 된다.
3. 시간의 총가치 도출- 매우 간단한 적분을 통해
이제 우리는 적분의 정의에 의해, 한계시간실질가치곡선을 시간 0~시간T의 구간에 대해 적분을 한다면 우리가 가진 시간의 실질가치를 구할 수 있음을 알 수 있다.
즉 ∫(1-a) * [W/Px] dT (단, 시간 [0~T에 대해]) 가 우리가 보유한 시간 T의 총가치라고 정의할 수 있다.
이를 적분하여 계산하는 것은 매우 간단하므로 독자에게 맡긴다. 결과적으로는
[(1-a) * [W/Px] * T] - [(1-a) * [W/Px] *0] = [(1-a) * [W/Px] * T] 가 도출된다. 즉, 매우 흥미로운 결과이지만 우리가 보유한 시간가치는
(시간의 총량 T) * (비근로시간에 사용하는 시간비중 1-a) * (시간당임금의 실질가치) 로 계산되는 것이다.
가령, 우리에게 주어진 1년의 시간가치를 계산하기로 하고, 우리의 a=2/3 (즉 총시간의 2/3을 근로로 사용한다는 의미)이며, 시간당임금이 3만원이라고 하자.
그렇다면 위의 식에서 1년이라는 시간의 실질가치는
(365일 * 24시간 * 1/3 * 3만원) /Px 가 된다. 시간의 명목가치는 실질가치 * Px 와 동일하므로, 시간의 화폐적인 가치는 365*24*3만*1/3 = 8760만원이 된다.
왜 그런 표정을 짓는지? 너무 작다는 생각이 드는가? 그렇다면 우리는 이런 기업가라고도 할 수 있겠다. 1년에 8760만원이라는 자산을 받아서, 이를 몇십 배로 부풀리기도 하고, 혹은 거의 다 날려버리기도 할 수도 있는 한 ‘장사꾼’ 이라고.
눈길을 끄는 글이군요~ㅎㅎ parameter를 미지수로 둔 효용함수의 모양을 먼저 가정하고 만일 현재의 여가-소득 선택이 최적점이라면 그 사람의 시간에 대한 효용함수의 parameter가 어떤 값일지 도출하여, 결과적으로 시간의 총가치를 적분해 낸 것이지요? 동태거시 수업 시간에 다룬 calibration의 테크닉과 유사한 것 같네요ㅎㅎ
답글삭제그런데 저는 과연 '시간의 한계효용'이라는 개념이 유효한 것인지 의문이 가네요? 시간도 다른 재화와 마찬가지로 한계효용이 체감하나요? 과연 서로 다른 두 시점의 시간은 동일한 재화인가요? 만일 아니라면 같은 시점의 시간은 어차피 한 단위 이상은 소비할 수 없는 게 아닐까요?
'하루 단위에서 여가의 가치 측정'을 시도하셨다고 생각하는데 이것이 곧바로 '시간의 가치'로 받아들여질 수 있는지 좀 더 생각해보아야 할 것 같아요.
암튼 흥미로운 글 잘 읽었습니다. ^^ 생각이 정리되면 제 다음 포스팅은 이 글에 대한 follow up이 될지도 모르겠군요ㅎㅎ
저도 시간에 대한 한계효용이 체감하지 않을수도 있다고 봅니다. 함수를 정의하기에 따라서 한계가치의 곡선은 여러가지 모양이 나올수도 있겠지요~ ㅎㅎ 제 생각에 시간의 진정한 가치를 측정하려면 '일견 타당해 보이는' 여러 종류의 방법으로 측정해보고 가중평균을 해야 하지 않을까 싶어요~ 제가 제시해 본건 하나의 예시적인 방법에 불과하구요.
삭제함수 정의하는 문제도 그렇지만, 함수를 달리해 주어도 결국 측정되는 것은 '하루에 쓰는 여가 시간'의 한계 효용인데, 근본적으로 '하루에 쓰는 여가시간'과 일반적인 의미에서의 '시간'을 동일한 개념으로 볼 수 있을까... 궁금했어요. 전자로 따지면 오늘 오후 네시부터 다섯시까지의 한 시간과 내일 오전 열시부터 오후 열한시까지의 한 시간은 동일해지니까요. 어쩌면 우리가 진정 사고파는 것은 '시간'자체가 아니라 주어진 시간동안 느끼는 '쾌락-불쾌감'의 정도이지 않을까...하는 좀 뚱딴지같은 생각을 하고 있습니다 ^^
답글삭제가람님의 시간에 관한 찰학적 글/소설에 대해 시간의 가격을 여쭤봤었는데, 실버온님께서 직접 시간의 가치에 대해 재미있는 분석적 글을 올려주셨네요. 단 시간의 가치와 여가의 가치는 다른 개념이 아닌지요?
답글삭제음 여기서는 여가의 가치를 측정한게 아니라 시간이 1단위 늘어날때의 한계가치곡선(내게 부존한 총시간 T단위가 있다고 할때 이것이 T+1단위로 증가시 X재 소비를 얼마나 늘릴수 있는가?)을 측정한 뒤에, 한계가치곡선을 적분해서 주어진 시간의 총가치를 구한 것이에요~ 결과적으로 여가와 노동의 선택기제를 유추하여 시간의 한계가치를 구했으니 여가의 가치와 무관하지는 않습니다만 방법론적으로는 여가의 가치만으로 시간의 가치를 측정한 건 아닙니다. ^^
삭제X를 T에 대해 편미분하신 것을 시간의 한계가치 곡선이라고 하셨는데, 부존시간 T가 늘어남에 따라 X의 소비가 증가함은 물론 L도 변화하지 않나요? L을 X와 동질적인 "재화"로 취급한다면 T 한 단위 변화에 따른 L과 X 선택의 변화, 그리고 그 L과 X 변화가 주는 효용의 변화량을 시간의 한계가치로 보는 것이 더 타당하지 않을까 하는 생각이 듭니다. 다만 MamboTango님의 포스팅 내용처럼 그 효용의 변화량의 적절한 단위가 없다는 것이 시간의 가치 측정의 어려움이 아닐까 싶구요.
답글삭제타당한 지적으로 보이네요. 제가 측정한 것이 한계시간의 '물질적' 가치이고 이를 적분한 것이 시간의 물질적 가치라면 여기에 여가의 가치를 더한 것이 시간의 총가치(실제소득 + 여가가치)에 더 근접하지 않을까 하는 생각이 새삼 듭니다. 역시 첫 실험적 시도이다 보니 고려하지 못한점이 좀 있군요 -_- ㅋㅋㅋ
삭제계산 실수가 있는 것 같네요.
답글삭제ƏX/ƏT = (ƏL/ƏT) * (ƏX/ƏL) = (1-a) * [a÷(1-a)] * [Px÷W] * [L/(T-L)]
= {(1-a) * a * (1-a) * Px} / {(1-a) * a * W}
= (1-a) * Px / W
참 그리고,
∫(ƏX/ƏT) dT = ∫{(1-a) * Px / W } dT 를 적분할 때에는 {(1-a) * Px / W }가 T의 값에 따라 변하는 함수이므로 이렇게 상수취급하여 적분하면 안 됩니다.
윗 글에서 [(1-a) * Px / W ]는 T의 값에 따라 변하는 함수가 아닙니다. 여기서는 W가 주어진 것으로 가정(정확히는 우리의 시간당 임금률이 주어져 있고 노동공급의 변화가 노동시장에 전혀 영향을 미치지 않는 상태)하고 있습니다. 즉 우리가 최적선택을 하고 있다는 가정하에 한계시간의 실질가치곡선을 측정하는 것이지요.
삭제정확히 말하자면 우리의 가용시간 T가 얼마이건 상관없이 Px는 일정하고, 우리의 선호체계 a 는 주어져있으며, W는 이미 외생적으로 주어져 있으므로 외생적으로 주어진 이 3가지를 바탕으로 한계시간가치의 실질곡선을 도출해 본 것이라 할수 있을 것입니다.
글쓰신 분 말대로 당해 함수가 T의 함수이려면 생산함수와 W=MPL 가정이 필요하겠지요(이 경우 T증가에 따라 노동공급이 전체적으로 변하므로 W도 변하겠습니다만)윗 글에서는 생산함수 자체를 가정하는 것이 아니라, 현재의 임금수준과 추정된 선호체계를 바탕으로 한계시간가치곡선을 추정하는데에 중점을 두었습니다.
(단순한 효용함수야 우리의 선택체계로 어느정도 추정이 가능하다고 쳐도 생산함수와 시장청산까지 가정할 경우 지나치게 비현실적인 가정을 많이 포함할 것이라고 봤습니다)
아 그리고 위에 계산실수 지적하신 부분은 -
삭제다시해보니 제가 쓴 답이 맞긴 맞아요.
제가 dx/dL 의 계산값을 써두고 좌변에는 실수로 dL/dx 로 썼네요.
(즉 계산자체는 dx/dl 을 계산한 걸로 맞는데 실수로 좌변에 dL/dx라고 썼다는 이야깁니다 ^^;)
(실제로 계산해보면 dx/dL = MUL/MUX = [(1-a)/(a)] * [X/L] 이 되고 이를 정리하면 (1-a) * [W÷Px] 가 됩니다.)
제가 좌변에 dL/dx 라고 쓴 부분
-> 이걸 dx/dL로 수정 완료했습니다.
혹시 의심되시면 한번 다시 계산해 주시고 지적부탁드려요 ^^
관심감사드립니다(꾸벅)
임금이 없는 사람은 시간의 가치가 없는 걸까요?
답글삭제명목임금의 개념이 필요할 듯.
답글삭제임금없이 가치있는 행동을 할 수 있거든여.
예를 들어 학생이 공부하다.
답글삭제자녀가 아빠일을 거들어 주다.